实对称矩阵的特征值是对角线上的元素吗实对称矩阵的特征值之和等于其主对角线上元素之和吗

高考数学 2021-11-15 08:26:40

做机器学习的过程中，难免会与矩阵打交道，而实对称矩阵更是其中常用的矩阵之一。所以，下面将介绍一下什么是实对称矩阵，并介绍一下它的几个性质（这也是很多笔试题中常考的点）定义：如果有n阶矩阵A，其矩阵的元素都为实数，且矩阵A的转置等...

实对称矩阵的特征值是对角线上的元素吗

是。实对称矩阵的特征值之和等于对角线上的元素之和。设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量x，使得Ax=mx成立，则称m是矩阵A的一个特征值或本征值。

实对称矩阵主要性质

实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。

实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。

n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

若λ0具有k重特征值必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E为单位矩阵。

矩阵的特征向量是矩阵理论上的重要概念之一，它有着广泛的应用。数学上，线性变换的特征向量（本征向量）是一个非简并的向量，其方向在该变换下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。

线性变换的特征向量是指在变换下方向不变，或者简单地乘以一个缩放因子的非零向量。

特征向量对应的特征值是它所乘的那个缩放因子。

特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。

线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量。

特征值的几何重次是相应特征空间的维数。

有限维向量空间上的一个线性变换的谱是其所有特征值的集合。

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